diklatkerja | Menjelajahi Geometri Taksi: Perspektif yang Berbeda tentang Jarak

Dalam bidang geometri, konsep jarak merupakan hal yang mendasar, dan rumus jarak Euclidean yang sudah tidak asing lagi sudah tertanam kuat dalam pemahaman kita tentang hubungan spasial. Namun, para ahli matematika telah mengeksplorasi definisi alternatif tentang jarak, yang mengarah pada pengembangan geometri yang menarik dengan sifat-sifat yang unik. Salah satu geometri tersebut adalah Geometri Taksi, yang juga dikenal sebagai Geometri Manhattan atau Geometri Blok Kota.

Geometri Taksi berangkat dari ukuran jarak Euclidean tradisional dan sebagai gantinya mendefinisikan jarak antara dua titik sebagai jumlah perbedaan absolut dari koordinat Kartesius masing-masing. Fungsi jarak ini dinamakan "jarak taksi", "jarak Manhattan", atau "jarak blok kota", karena fungsi ini merefleksikan jalur yang harus dilalui oleh sebuah taksi di sepanjang jalan persegi panjang di kota yang terencana seperti Manhattan.

Secara formal, dalam ruang koordinat nyata dua dimensi (R^2), jarak taksi antara dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) diberikan oleh rumus:

d((x1, y1), (x2, y2)) = |x1 - x2| + |y1 - y2|

Metrik jarak ini mengarah pada interpretasi geometris yang berbeda dari panjang dan kurva. Dalam Geometri Taksi, panjang segmen garis antara dua titik sama dengan panjang jalur kisi terpendeknya, bukan panjang Euclidean. Akibatnya, kurva dan bentuk memiliki karakteristik yang berbeda, menantang gagasan intuitif kita tentang geometri.

Asal-usul Geometri Taksi dapat ditelusuri kembali ke abad ke-18, ketika digunakan dalam analisis regresi, dan sering disebut sebagai LASSO (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator) dalam konteks statistik. Namun, interpretasi geometrisnya dikaitkan dengan Hermann Minkowski, seorang matematikawan perintis di bidang geometri non-Euclidean pada abad ke-19.

Geometri Taksi menawarkan perspektif baru tentang hubungan spasial dan jarak, memungkinkan kita untuk mengeksplorasi geometri alternatif dan implikasinya. Geometri ini memiliki aplikasi di berbagai bidang, termasuk perencanaan kota, jaringan transportasi, dan bahkan pemrosesan gambar, di mana konsep jarak "blok kota" dapat berguna.

Meskipun jarak Euclidean tetap menjadi ukuran utama dalam banyak aplikasi praktis, Taxicab Geometry berfungsi sebagai pengingat bahwa matematika adalah permadani yang kaya akan ide, dan dengan merangkul perspektif alternatif, kita dapat memperoleh wawasan yang lebih dalam dan menemukan kemungkinan baru dalam cara kita memahami dan berinteraksi dengan dunia di sekitar kita.

Searah Geometri Taksi

Akar geometri taksi, juga dikenal sebagai metrik L1, dapat ditelusuri kembali ke abad ke-18 ketika Roger Joseph Boscovich menggunakannya dalam analisis regresi sebagai ukuran kesesuaian. Namun, konseptualisasinya sebagai metrik jarak antar titik dalam ruang geometris baru muncul pada akhir abad ke-19 seiring dengan berkembangnya geometri non-Euclidean.

Pada tahun 1910, baik Frigyes Riesz dan Hermann Minkowski secara independen berkontribusi pada formalisasi ruang Lp, yang mencakup geometri taksi sebagai kasus khusus. Karya Riesz meletakkan dasar untuk memahami ruang-ruang ini sebagai ruang vektor bernorma, sementara Minkowski memperkenalkan ketidaksetaraan Minkowski, yang selanjutnya memajukan geometri bilangan.

Istilah "geometri taksi" diciptakan oleh Karl Menger pada tahun 1952, dalam sebuah buku berjudul "You Will Like Geometry," yang menyertai pameran geometri di Museum Sains dan Industri di Chicago. Istilah ini dengan tepat menangkap gagasan pengukuran jarak yang mirip dengan jalur yang dilalui taksi pada tata ruang jalan kota yang seperti grid.

Definisi Resmi

Jarak Manhattan $d_{1}$ dalam ruang vektor $\mathbb {R} ^{n}$ dengan sistem koordinat Kartesius, antara vektor $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ dan $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ , adalah jumlah panjang proyeksi ruas garis antara kedua vektor tersebut terhadap sumbu-sumbu koordinat. Secara matematis, jarak Manhattan dapat didefinisikan sebagai berikut ${\begin{aligned}d_{1}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|_{1}&=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|\\&=|p_{1}-q_{1}|+|p_{2}-q_{2}|+\dots +|p_{n}-q_{n}|\end{aligned}}$

Sifat-sifat Geometri Taks

Jarak taksi, sebuah metrik khusus yang diterapkan pada ruang Euclidean, memperkenalkan sifat-sifat menarik yang berbeda dari geometri Euclidean tradisional.

Orientasi Sistem Koordinat: Berbeda dengan jarak Euclidean, jarak taksi bervariasi tergantung pada orientasi sistem koordinat. Meskipun diubah oleh rotasi dalam ruang Euclidean, terjemahan dan refleksi sejajar sumbu tidak berpengaruh pada jarak taksi.
Bentuk Bola: Dalam geometri taksi, bola mengambil bentuk unik yang dikenal sebagai politope silang, yang mengingatkan kita pada segi delapan biasa dalam dimensi yang lebih tinggi. Persamaan yang mendefinisikan bola-bola ini mencerminkan geometri yang berbeda ini.
Panjang Busur: Pengertian panjang busur dalam geometri taksi berbeda dengan pengertian dalam geometri Euclidean. Panjang busur taksi dari grafik suatu fungsi pada suatu interval dihitung secara berbeda, dengan menyoroti perbedaan antara dua geometri.
Kesesuaian Segitiga: Meskipun geometri Euclidean menawarkan beberapa teorema yang memastikan kekongruenan segitiga berdasarkan kombinasi sisi dan sudut yang sama, geometri taksi menyajikan kriteria yang lebih ketat. Dalam geometri taksi, hanya kriteria Sisi-Sudut-Sisi-Sudut-Sisi (SASAS) yang menjamin keselarasan segitiga, menawarkan perspektif unik mengenai kesetaraan geometri.

Aplikasi Geometri Taksi

Compressed sensing

Dalam menyelesaikan sistem persamaan linear yang tidak dapat ditentukan, istilah regularisasi untuk vektor parameter dinyatakan dalam bentuk ℓ1 $\ell _{1}$ norma (geometri taksi) dari vektor. Pendekatan ini muncul dalam kerangka pemulihan sinyal yang disebut penginderaan terkompresi.

Differences of frequency distributions

Geometri taksi dapat digunakan untuk menilai perbedaan distribusi frekuensi diskrit. Misalnya, dalam penyambungan RNA, distribusi posisi heksamer, yang mewakili kemungkinan munculnya setiap heksamer pada setiap nukleotida tertentu di dekat lokasi penyambungan, dapat dibandingkan menggunakan jarak L1. Setiap distribusi posisi dapat direpresentasikan sebagai vektor di mana setiap segmen menunjukkan probabilitas heksamer dimulai pada nukleotida tertentu. Jarak L1 yang besar antara kedua vektor menunjukkan perbedaan sifat distribusi yang signifikan, sedangkan jarak yang kecil menunjukkan distribusi yang berbentuk serupa. Hal ini serupa dengan mengukur luas antara dua kurva distribusi karena tinggi setiap segmen adalah selisih mutlak antara kemungkinan kedua kurva pada titik tersebut. Ketika dijumlahkan di semua segmen, hasilnya sama dengan jarak L1.

Disadur dari: en.wikipedia.org/id.wikipedia.org