Dalam teori probabilitas dan bidang terkait, proses stokastik (/stəˈkæstɪk/) atau acak adalah objek matematika, biasanya didefinisikan sebagai rangkaian variabel acak dalam ruang probabilitas, di mana indeks rangkaian tersebut sering kali memiliki interpretasi temporal. Proses stokastik banyak digunakan sebagai model matematika dari sistem dan fenomena yang muncul bervariasi secara acak. Contohnya adalah pertumbuhan populasi bakteri, fluktuasi arus listrik akibat kebisingan termal, atau pergerakan molekul gas. Proses stokastik dapat diterapkan di banyak bidang keilmuan seperti biologi, kimia, ekologi, ilmu saraf, fisika, pemrosesan gambar, pemrosesan sinyal, teori kendali. teori informasi, ilmu komputer dan telekomunikasi. Selain itu, perubahan pasar keuangan yang tampaknya acak telah mendorong meluasnya penggunaan proses stokastik di bidang keuangan.
Realisasi proses gerak Wiener atau Brown yang disimulasikan komputer pada permukaan bola. Proses Wiener secara luas dianggap sebagai proses stokastik yang paling banyak dipelajari dan sentral dalam teori probabilitas.
Penerapan dan studi fenomena pada gilirannya menginspirasi proses stokastik baru. Contoh proses stokastik tersebut adalah proses Wiener atau proses gerak Brown [a] yang digunakan oleh Louis Bachelier untuk mempelajari perubahan harga di Bursa Efek Paris, dan proses Poisson yang digunakan oleh A.K. Erlang memeriksa jumlah panggilan yang dilakukan selama periode waktu tertentu. Kedua proses stokastik ini dianggap paling penting dan sentral dalam teori proses stokastik dan ditemukan berulang kali dan independen sebelum dan sesudah Bachelier dan Erlang di lingkungan dan negara yang berbeda.
Istilah fungsi acak juga digunakan untuk menunjukkan suatu proses stokastik atau acak, karena proses stokastik juga dapat diartikan sebagai elemen acak dari suatu ruang fungsi. Istilah proses stokastik dan proses acak digunakan secara bergantian, seringkali tanpa status matematika tertentu untuk sekumpulan variabel acak indeks.Namun, kedua istilah ini sering digunakan ketika variabel acak diindeks dengan bilangan bulat atau interval nyata. Jika variabel acak diindeks dalam bidang Kartesius atau ruang Euclidean yang lebih tinggi, maka himpunan variabel acak biasanya disebut bidang acak. Nilai dari suatu proses stokastik tidak selalu berupa angka, namun dapat berupa vektor atau objek matematika lainnya.
Berdasarkan sifat matematikanya, proses stokastik dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori, antara lain random walk, martingales, proses Markov, proses Lévy, proses Gaussian, random field, proses inovasi dan proses percabangan. Studi tentang proses stokastik menggunakan pengetahuan matematika dan teknik kalkulus probabilitas, aljabar linier, teori himpunan dan topologi dan cabang analisis matematika seperti analisis nyata, teori ukuran, analisis Fourier dan analisis fungsional. Teori proses stokastik dianggap sebagai kontribusi penting bagi matematika dan terus menjadi topik penelitian aktif baik untuk alasan teoritis maupun aplikasi.
Perkenalan
Proses stokastik atau acak dapat didefinisikan sebagai sekumpulan variabel acak yang diindeks oleh beberapa himpunan matematika, artinya setiap variabel acak dari proses stokastik terkait secara unik dengan salah satu elemen himpunan tersebut. Himpunan yang digunakan untuk menyatakan variabel acak disebut himpunan indeks. Secara historis, kumpulan indeks adalah bagian dari barisan sebenarnya, seperti bilangan asli, yang memberikan interpretasi temporal pada kumpulan indeks. Setiap variabel acak dalam himpunan mengambil nilai dari ruang matematika yang sama yang disebut ruang keadaan. Ruang keadaan ini dapat berupa, misalnya, bilangan bulat, garis real, atau ruang berdimensi Euclidean {\displaystyle n}. Pertumbuhan adalah besarnya perubahan dalam proses stokastik antara dua nilai indeks, yang sering diartikan sebagai dua titik waktu. Proses stokastik dapat memiliki banyak hasil karena keacakannya, dan salah satu hasil dari proses stokastik disebut, antara lain, fungsi sampel atau eksekusi.
Suatu contoh fungsi atau realisasi tunggal yang disimulasikan komputer, antara lain, dari proses gerak Wiener atau Brown tiga dimensi untuk waktu 0 ≤ t ≤ 2. Himpunan indeks dari proses stokastik ini adalah bilangan non-negatif, sedangkan ruang keadaannya adalah ruang Euclidean tiga dimensi.
Proses stokastik dapat dikategorikan berdasarkan berbagai faktor, seperti ruang keadaan, kumpulan indeks, atau hubungan antara variabel acak. Salah satu metode klasifikasi yang umum digunakan adalah dengan mempertimbangkan kardinalitas himpunan indeks dan ruang keadaan.
Jika dilihat sebagai waktu, sebuah proses stokastik dianggap berada dalam waktu diskrit jika himpunan indeksnya terdiri dari sejumlah elemen yang terbatas atau dapat dihitung, seperti himpunan bilangan atau bilangan asli. Sebaliknya, jika kumpulan indeks mewakili interval pada garis nyata, waktu dianggap kontinu. Kedua jenis ini masing-masing dikenal sebagai proses stokastik waktu diskrit dan waktu kontinu. Proses waktu diskrit sering kali lebih disukai untuk dipelajari karena sifatnya yang lebih sederhana, sementara proses waktu kontinu memerlukan teknik matematika yang lebih canggih.
Selanjutnya, proses stokastik diklasifikasikan berdasarkan ruang keadaannya. Jika ruang keadaan terdiri dari bilangan bulat atau bilangan asli, proses tersebut disebut sebagai proses diskrit atau bernilai bilangan bulat. Sebaliknya, jika ruang keadaan adalah garis real, proses disebut bernilai real atau memiliki ruang keadaan kontinu. Selain itu, jika ruang keadaan adalah ruang Euclidean n-dimensi, prosesnya disebut sebagai proses vektor n-dimensi.
Istilah "stokastik" pada awalnya berkaitan dengan dugaan, berasal dari kata Yunani yang berarti "membidik sasaran, menebak." Penggunaan modernnya, yang menunjukkan keacakan atau peluang, berasal dari abad ke-16. Konsep proses stokastik diperkenalkan pada abad ke-18, dengan istilah "proses stokastik" pertama kali muncul dalam bahasa Inggris pada abad ke-20.
Dalam hal notasi, proses stokastik direpresentasikan dengan simbol seperti {X(t)}, {Xt}, atau hanya X, di mana t menunjukkan himpunan indeks. Namun, penting untuk dicatat bahwa X(t) secara khusus mengacu pada variabel acak pada waktu t, bukan keseluruhan proses.
Contoh
- Proses Bernoulli
Proses Bernoulli merupakan salah satu proses stokastik yang paling sederhana, ditandai dengan urutan variabel acak yang independen dan terdistribusi secara identik (iid). Setiap variabel mengambil nilai satu atau nol, dengan probabilitas masing-masing p dan 1-p. Proses ini sering diibaratkan seperti melempar koin berulang kali, di mana probabilitas kepala koin adalah p dan ekor koin adalah 1-p. Pada dasarnya, proses Bernoulli terdiri dari variabel acak Bernoulli iid, di mana setiap lemparan koin mewakili percobaan Bernoulli.
- Random Walk
Random walk mewakili proses stokastik yang biasanya didefinisikan sebagai jumlah dari variabel atau vektor acak ke-i dalam ruang Euclidean. Proses ini berevolusi dalam waktu diskrit,[84][85][86][87][88] meskipun beberapa definisi meluas ke waktu kontinu, terutama dalam model keuangan yang menggunakan proses Wiener, yang mengarah ke beberapa kebingungan dan kritik.[90] Random walk muncul dalam berbagai bentuk, yang memungkinkan ruang negara mereka menjangkau objek matematika yang berbeda seperti kisi-kisi dan kelompok. Mereka dipelajari secara ekstensif dan menemukan aplikasi di berbagai disiplin ilmu.
- Proses Wiener
Proses Wiener, juga dikenal sebagai gerakan Brown, adalah proses stokastik yang ditandai dengan kenaikan ukuran yang stasioner dan independen terdistribusi secara normal. Dinamai dari Norbert Wiener, proses ini digunakan di berbagai bidang, awalnya memodelkan pergerakan Brownian dalam cairan.
- Proses Poisson
Proses Poisson, dengan beragam bentuk dan definisinya, merepresentasikan proses penghitungan dalam istilah stokastik. Proses ini menghitung jumlah titik atau peristiwa acak dalam interval waktu tertentu. Jumlah titik-titik ini dalam waktu tertentu mengikuti distribusi Poisson, yang ditentukan oleh parameter dan interval waktu. Dengan state space yang terdiri dari bilangan asli dan kumpulan indeks yang terdiri dari bilangan non-negatif, proses Poisson juga dikenal sebagai proses penghitungan Poisson, yang menggambarkan kegunaannya sebagai mekanisme penghitungan.
Sejarah
- Teori Probabilitas Awal
Teori probabilitas dapat ditelusuri kembali ke permainan peluang kuno, yang mendapatkan perhatian formal pada abad ke-17 melalui korespondensi Pierre Fermat dan Blaise Pascal tentang perjudian. Sebelumnya, karya Gerolamo Cardano tentang permainan peluang menjadi dasar, yang berpuncak pada "Ars Conjectandi" Jakob Bernoulli pada tahun 1713, yang menginspirasi eksplorasi lebih lanjut meskipun pada awalnya ada keengganan dari komunitas matematika.
- Mekanika Statistik
Pada abad ke-19, mekanika statistik muncul, memperlakukan sistem fisik sebagai kumpulan partikel yang bergerak. Karya James Clerk Maxwell pada tahun 1859 merevolusi bidang ini dengan memperkenalkan keacakan ke dalam teori kinetik gas, yang kemudian menjadi dasar yang berpengaruh pada model gerak Brownian Albert Einstein.
- Teori Pengukuran dan Teori Probabilitas
Proposal David Hilbert pada tahun 1900 untuk perlakuan matematis terhadap fisika dan probabilitas mendorong perkembangan teori pengukuran. Matematikawan Prancis Henri Lebesgue dan Emile Borel memelopori cabang ini, dengan buku probabilitas Paul Lévy tahun 1925 yang menandai langkah penting. Sementara itu, di Uni Soviet, ahli matematika seperti Sergei Bernstein dan Aleksandr Khinchin mulai meletakkan dasar teori probabilitas, yang berpuncak pada karya penting Kolmogorov pada tahun 1933 yang menggunakan teori ukuran untuk membangun kerangka kerja aksiomatik.
- Kelahiran Teori Probabilitas Modern
Publikasi Kolmogorov menandai lahirnya teori probabilitas modern, yang memformalkan proses stokastik dalam matematika. Kontribusi selanjutnya dari Joseph Doob, William Feller, dan lainnya mengukuhkan posisinya dalam wacana matematika, meskipun ada gangguan dari Perang Dunia II.
- Proses Stokastik setelah Perang Dunia II
Pasca Perang Dunia II, minat terhadap teori probabilitas melonjak. Karya Kiyosi Ito dalam kalkulus stokastik dan kontribusi Gilbert Hunt pada proses Markov mendorong bidang ini ke depan. Buku Joseph Doob yang berpengaruh pada tahun 1953 menekankan pentingnya teori pengukuran dalam probabilitas, yang membentuk lintasan penelitian selanjutnya.
- Penemuan Proses Stokastik Spesifik
Proses stokastik spesifik seperti proses Bernoulli dan random walk memiliki sejarah panjang, dimulai dari penelitian Jakob Bernoulli pada abad ke-18. Eksplorasi Albert Einstein tentang gerak Brown pada tahun 1905 dan karya perintis Louis Bachelier dalam matematika keuangan meletakkan dasar yang penting. Proses Siméon Poisson muncul dalam berbagai konteks, terutama dalam model asuransi Filip Lundberg pada tahun 1903 dan model panggilan telepon A.K. Erlang pada tahun 1909. Kontribusi Andrey Markov pada awal abad ke-20 meletakkan dasar untuk proses Markov, dengan perkembangan selanjutnya oleh Maurice Fréchet dan lainnya yang membentuk evolusi bidang ini. Proses Lévy, yang dinamai sesuai nama Paul Lévy, mendapat kontribusi dasar dari Bruno de Finetti dan Kiyosi Itô pada tahun 1930-an.
Disadur dari: en.wikipedia.org