diklatkerja | Pengertian Jarak Euclidean dalam Ilmu Sains

Dalam sains, jarak Euclidean antara dua fokus dalam ruang Euclidean adalah panjang bagian garis di antara keduanya. Hal ini dapat dihitung dari fasilitas Cartesian dari fokus menggunakan hipotesis Pythagoras, dan kadang-kadang disebut penghapusan Pythagoras.

Nama-nama ini berasal dari matematikawan Yunani kuno Euclid dan Pythagoras. Dalam geometri deduktif Yunani yang dicontohkan oleh Komponen Euclid, pemisahan tidak dianggap sebagai angka melainkan potongan garis dengan panjang yang sama, yang dianggap "meningkat". Ide jarak adalah bawaan dalam perangkat kompas yang digunakan untuk menggambar lingkaran, yang semua fokusnya memiliki jarak yang sama dari titik pusat yang sama. Asosiasi hipotesis Pythagoras dengan penghapusan perhitungan baru dilakukan pada abad ke-18.

Keterpisahan antara dua objek yang bukan fokus biasanya dicirikan sebagai jarak terkecil di antara kumpulan fokus dari kedua objek tersebut. Persamaan dikenal untuk menghitung pemisahan antara beragam jenis objek, seperti jarak dari suatu titik ke garis. Dalam aritmatika tingkat lanjut, konsep pemindahan telah digeneralisasikan ke ruang metrik unik, dan pemisahan lain selain Euclidean telah dipertimbangkan. Dalam beberapa aplikasi dalam wawasan dan pengoptimalan, kuadrat dari pemisahan Euclidean digunakan, bukan dari pemisahan itu sendiri.

Rumus Jarak dalam Berbagai Dimensi

Jarak adalah konsep dasar dalam matematika dan geometri, dan memainkan peran penting dalam banyak aplikasi, termasuk pembelajaran mesin, visi komputer, dan analisis data. Dalam artikel blog ini, kita akan mengeksplorasi rumus-rumus yang digunakan untuk menghitung jarak antar objek dalam berbagai dimensi, mulai dari kasus paling sederhana, yaitu titik-titik satu dimensi pada sebuah garis, dan secara bertahap bergerak ke dimensi yang lebih tinggi.

Jarak Satu Dimensi:

Jarak antara dua titik pada garis nyata hanyalah perbedaan absolut antara koordinat mereka. Untuk titik p dan q, jarak diberikan oleh:

d(p, q) = |p - q|

Sebagai alternatif, kita dapat menggunakan rumus akar kuadrat, yang lebih mudah digeneralisasi ke dimensi yang lebih tinggi:

d(p, q) = √((p - q)^2)

Jarak Dua Dimensi (Bidang Euclidean):

Pada bidang Euclidean, jarak antara dua titik p (p1, p2) dan q (q1, q2) dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras. Rumusnya adalah:

d(p, q) = √((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2)

Rumus ini menemukan panjang sisi miring segitiga siku-siku yang dibentuk oleh jarak horizontal dan vertikal antara titik-titik.

Dimensi yang lebih tinggi:

Untuk titik-titik dalam ruang Euclidean n-dimensi, rumus jarak adalah generalisasi langsung dari kasus dua dimensi:

d(p, q) = √((p1 - q1)^2 + (p2 - q2)^2 + ... + (pn - qn)^2)

Sebagai alternatif, jarak Euclidean dapat dinyatakan secara ringkas menggunakan norma Euclidean dari perbedaan vektor antara titik-titik:

d(p, q) = ||p - q||

Jarak Antara Objek Lain:

Rumus-rumus yang dibahas di atas berlaku untuk titik, tetapi jarak juga dapat dihitung antara objek geometris lainnya, seperti garis, bidang, dan kurva. Dalam kasus ini, jarak biasanya didefinisikan sebagai jarak terkecil antara dua titik dari masing-masing objek. Generalisasi yang lebih kompleks, seperti jarak Hausdorff, juga dapat digunakan.

Properti dari Jarak Euclidean

Jarak Euclidean berdiri sebagai pola dasar pengukuran jarak dalam ruang metrik, yang mewujudkan sifat-sifat utama yang mendasar pada sifatnya.

Simetri: Jarak antara dua titik, apapun urutannya, tetap konsisten. Berbeda dengan menavigasi jalan satu arah, jalur dari titik A ke titik B sama dengan perjalanan sebaliknya dari titik B ke titik A.
Positif: Jarak antara titik-titik berbeda selalu positif, sedangkan jarak dari titik mana pun ke titik itu sendiri pada dasarnya adalah nol.
Ketimpangan Segitiga: Prinsip ini menyatakan bahwa perjalanan dari titik A ke titik C melalui titik perantara B tidak boleh lebih pendek dari rute langsung dari A ke C. Prinsip ini memastikan koherensi logis dari hubungan spasial.

Sifat lainnya, pertidaksamaan Ptolemy, berkaitan dengan jarak Euclidean antara empat titik p, q, r, dan s Ini menyatakan bahwa:

$d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).$

Lebih lanjut, ketidaksetaraan Ptolemeus menyoroti interaksi antara jarak Euclidean di antara empat titik. Ini menggarisbawahi hubungan antara panjang sisi dan diagonal dalam segi empat, memperluas relevansinya melampaui batas bidang hingga ruang Euclidean dalam dimensi apa pun.

Dalam geometri Euclidean, setiap transformasi yang mempertahankan satuan jarak, menurut teorema Beckman – Quarles, juga harus menjaga semua jarak tetap utuh. Teorema ini menekankan hubungan mendalam antara pelestarian satuan jarak dan isometri, menyoroti simetri dan konsistensi yang melekat dalam transformasi ruang Euclidean.

Memahami sifat-sifat ini tidak hanya memperkaya pemahaman kita tentang jarak Euclidean tetapi juga membuka jalan untuk mengeksplorasi penerapannya di berbagai bidang, mulai dari analisis spasial hingga masalah optimasi.

Jarak Euclidean Kuadrat

Dalam banyak penerapan, dan khususnya ketika membandingkan jarak, mungkin lebih mudah untuk menghilangkan akar kuadrat akhir ketika menghitung jarak Euclidean, karena akar kuadrat tidak mengubah urutan $d_{1}^{2}>d_{2}^{2}$ . jika dan hanya jika $d_{1}>d_{2}$ . Nilai yang dihasilkan dari pengabaian ini adalah kuadrat dari jarak Euclidean, dan disebut sebagai squared Euclidean distance. Sebagai contoh, pohon span minimum Euclidean dapat ditentukan hanya dengan menggunakan urutan antara jarak, bukan nilai numeriknya. Membandingkan jarak kuadrat menghasilkan hasil yang sama tetapi menghindari perhitungan akar kuadrat yang tidak perlu dan mengatasi masalah presisi numerik. Secara matematis, jarak kuadrat dapat diungkapkan sebagai jumlah kuadrat:

$d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.$

Selain membandingkan jarak, jarak Euclidean kuadrat juga mempunyai arti penting dalam statistik, khususnya dalam metode kuadrat terkecil, yang merupakan pendekatan standar untuk menyesuaikan perkiraan statistik dengan data. Metode ini meminimalkan jarak kuadrat rata-rata antara nilai yang diamati dan yang diperkirakan. Selain itu, jarak Euclidean kuadrat berfungsi sebagai bentuk divergensi paling sederhana untuk membandingkan distribusi probabilitas. Penambahan jarak kuadrat, seperti pencocokan kuadrat terkecil, berhubungan dengan operasi jarak yang disebut penjumlahan Pythagoras. Dalam analisis massa, mengkuadratkan jarak dapat meningkatkan dampak jarak jauh.

Namun perlu diperhatikan bahwa jarak kuadrat Euclidean tidak membentuk ruang metrik karena gagal memenuhi pertidaksamaan segitiga. Meskipun demikian, ini adalah fungsi dua titik yang mulus dan cembung, tidak seperti jarak, yang tidak mulus untuk pasangan titik yang hampir sama. Akibatnya, jarak kuadrat lebih disukai dalam teori optimasi karena kompatibilitasnya dengan analisis cembung. Karena fungsi kuadrat bersifat monotonik untuk nilai non-negatif, meminimalkan jarak kuadrat sama dengan meminimalkan jarak Euclidean. Dengan demikian, masalah optimasi tetap setara di kedua aspek, namun biasanya lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan kuadrat jarak.

Himpunan semua jarak kuadrat dari himpunan jarak pasangan titik berhingga dapat disusun ke dalam matriks jarak Euclidean, yang berguna dalam geometri jarak.

Kerucut, grafik jarak Euclidean dari titik asal pada bidang

Paraboloid, grafik kuadrat jarak Euclidean dari titik asal

Generalisasi

Dalam bidang matematika yang lebih maju, ketika melihat ruang Euclidean sebagai ruang vektor, jaraknya dikaitkan dengan standar yang dikenal sebagai norma Euclidean, yang didefinisikan sebagai jarak setiap vektor dari titik asal. Salah satu sifat penting dari norma ini, dibandingkan dengan norma lainnya, adalah invariansinya di bawah rotasi ruang yang berubah-ubah di sekitar titik asal. Menurut teorema Dvoretzky, setiap ruang vektor bernorma berdimensi terbatas memiliki subruang berdimensi tinggi di mana normanya kira-kira Euclidean; norma Euclidean adalah satu-satunya norma yang memiliki sifat ini. Hal ini dapat diperluas ke ruang vektor berdimensi tak terbatas sebagai norma L2 atau jarak L2. Jarak Euclidean memberikan ruang Euclidean dengan struktur ruang topologi, yang dikenal sebagai topologi Euclidean, dengan bola-bola terbuka (himpunan bagian dari titik-titik dalam jarak tertentu dari titik yang diberikan) sebagai tetangganya.

Jarak umum lainnya dalam ruang koordinat nyata dan ruang fungsi meliputi:

Jarak Chebyshev (jarak L∞), yang mengukur jarak sebagai maksimum dari jarak di setiap koordinat.
Jarak Manhattan (jarak L1), juga disebut jarak taksi, yang mengukur jarak sebagai jumlah jarak di setiap koordinat.
Jarak Minkowski (jarak Lp), sebuah generalisasi yang menyatukan jarak Euclidean, jarak Manhattan, dan jarak Chebyshev.

Untuk titik-titik pada permukaan dalam tiga dimensi, jarak Euclidean harus dibedakan dari jarak geodesi, yaitu panjang kurva terpendek yang dimiliki oleh permukaan. Khususnya, untuk mengukur jarak lingkaran besar di Bumi atau permukaan bola atau permukaan lain yang berbentuk bola atau hampir bola, jarak yang telah digunakan termasuk jarak haversine, yang memberikan jarak lingkaran besar antara dua titik pada bola dari garis bujur dan garis lintangnya, dan rumus Vincenty, juga dikenal sebagai "jarak Vincent", untuk jarak pada bola.

Sejarah Jarak Euclidean: Dari Akar Kuno ke Matematika Modern

Dalam sejarah matematika, jarak Euclidean mengacu pada jarak dalam ruang Euclidean, yang diambil dari nama ahli matematika Yunani kuno Euclid, yang karyanya, "Elemen", menjadi buku teks standar dalam geometri selama berabad-abad. Konsep panjang dan jarak tersebar luas di berbagai kebudayaan, dan bahkan dapat ditelusuri ke dokumen birokrasi "protoliterasi" tertua dari Sumeria pada milenium keempat SM, jauh sebelum zaman Euclid. Namun, gagasan tentang jarak, sebagai bilangan yang ditentukan dari dua titik, sebenarnya tidak muncul dalam "Elemen" Euclid. Sebaliknya, Euclid mendekati konsep ini secara implisit, melalui kongruensi ruas garis, perbandingan panjang ruas garis, dan konsep proporsionalitas.

Teorema Pythagoras juga telah ada sejak zaman dahulu, namun baru menjadi sentral dalam pengukuran jarak setelah ditemukannya koordinat Cartesian oleh René Descartes pada tahun 1637. Rumus jarak sendiri pertama kali diterbitkan pada tahun 1731 oleh Alexis Clairaut. Karena rumus ini, jarak Euclidean kadang juga disebut jarak Pythagoras. Meskipun pengukuran akurat jarak jauh di permukaan bumi, yang bukan Euclidean, telah dipelajari di banyak kebudayaan sejak zaman kuno, gagasan bahwa jarak Euclidean mungkin bukan satu-satunya cara untuk mengukur jarak antar titik dalam ruang matematika muncul baru-baru ini, dengan perumusan geometri non-Euclidean. -Euclidean pada abad ke-19. Definisi norma Euclidean dan jarak Euclidean untuk geometri tiga dimensi juga pertama kali muncul pada abad ke-19, dalam karya Augustin-Louis Cauchy.

Disadur dari: en.wikipedia.org